【题目】如图,在正方体中,直线
与平面
和平面
分别交于点G,H.
求证:点G,H是线段
的三等分点;
在棱
上是否存在点M,使得二面角
的大小为
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
连结
,交
于O,推导出
,
,
,从而
平面
,设正方体棱长为1,则由
,能求出
,同理,
,由题意知
,由此能证明G,H是线段
的三等分点.
以D为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出棱
上不存在点M,使得二面角
的大小为
.
证明:连结
,交
于O,
正方体
,
,且
平面
,
平面
,
,又
,
平面
,
平面
,
,
同理,,又
,
平面
,
设正方体棱长为1,则由,得:
,
解得,
同理,,由题意知
,
,H是线段
的三等分点.
解:如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,设,
即m,
,
,则
1,
,
0,
,
1,
,
由知
是平面
的一个法向量,且
,
,
,
设平面MBD的一个法向量为,
则,令
,得
,
由,得
,
由,得m无解,
故棱上不存在点M,使得二面角
的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )
A.73.3,75B.73.3,80
C.70,70D.70, 75
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右焦点为
,右顶点为
.已知
,其中
为原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
.若
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有2个红球,1个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取2个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:
①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;
②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;
③若取得的2个小球都是红球,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;
④若取得的2个小球都不是红球,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;
⑤若取得的2个小球只有1个红球,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.
(1)求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖);
(2)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);
(3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元,5元,2元的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,抛物线
:
与抛物线
:
异于原点
的交点为
,且抛物线
在点
处的切线与
轴交于点
,抛物线
在点
处的切线与
轴交于点
,与
轴交于点
.
(1)若直线与抛物线
交于点
,
,且
,求抛物线
的方程;
(2)证明: 的面积与四边形
的面积之比为定值.
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