Question

已知矩阵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4 -1

]，且Aα=[

9 4

]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量

α1

，

α2

；
（3）计算A²⁰α．

Answer 1

（1）∵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4 -1

]，Aα=[

9 4

]，
∴Aα=[

x 3 2 y

][

4 -1

]=[

4x-3 8-y

]=[

9 4

]，解得：

x=3 y=4

，
∴实数x，y的值分别为3，4；
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为6或1，
当λ=6时由二元一次方程

3x-3y=0 -2x+2y=0

得x-y=0，令x=1，则y=1，
所以特征值λ=6对应的特征向量为

α1

=

1 1

，
当λ=1时由二元一次方程

-2x-3y=0 -2x-3y=0

得2x+3y=0，
令x=3，则y=-2，
所以特征值λ=1对应的特征向量为

α2

=

3 -2

；
（3）令[

4 -1

]=m

1 1

+n

3 -2

，
∴

m+3n=4 m-2n=-1

，解得：

m=1 n=1

，
故A²⁰α=6²⁰

α1

+1²⁰

α2

=

620+3 620-2

．