【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间/分钟 |
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总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在
的学生评价为“锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的
列联表；
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率．
参考公式：
，其中
．
临界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【答案】（1）填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.（2）
【解析】
（1）根据题目所给数据填写
列联表，计算
的值，由此判断出能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
（2）根据分层抽样求得所抽取的
人中，
人是男生，
人是女生，再利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率．
（1）列联表如下：
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | 60 | 30 | 90 |
女 | 90 | 20 | 110 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
（2）锻炼达标的学生有
人，男女生人数比为
，故用分层抽样求得所抽取的人中，人是男生，人是女生，男生记为
，女生记为
，从中任取两人，选法有
共
种，其中至少有
人是女生的为
共
种，所以作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率为.
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【题目】将420名工人编号为：001，002，
，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005．这420名工人来自三个工厂，从001到200为
工厂，从201到355为
工厂，从356到420为
工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（ ）
A.28，23，9B.27，23，10C.27，22，11D.28，22，10
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【题目】已知椭圆
的方程为
，
是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点
，点关于原点的对称点为
．
（1）证明：直线
的斜率为定值；
（2）求
面积的最大值．
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与
轴交点为
，经过点的直线与曲线交于
，
两点，证明：
为定值.
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【题目】在直角坐标系
中， 
，动点
满足：以
为直径的圆与
轴相切.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）设点
的轨迹为曲线
，直线
过点
且与
交于
两点，当
与
的面积之和取得最小值时，求直线
的方程.
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