Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a₃得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；
（2）根据（1）中d的范围可知d小于0，所以此数列为递减数列，在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0，它的后一项小于0，则这项与之前的各项相加就最大，根据S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S₁，S₂，…，S₁₂中最大的项．

解答：解：（1）依题意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．

（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
则S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
?

6(a1+a12)=6(a6+a7)＞0 13 2 (a1+a13)= 26a7 2 =13a7＜0

，
∴a₆＞0，a₇＜0，
故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．

点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力，是一道中档题．