Question

已知函数f（x）=

x2-2ax+2，x＜1 (a-3)x，x≥1

，满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值范围．

解答： 解：∵对任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递减函数，
当x≥1时，f（x）=（a-3）x为减函数，则a-3＜0，即a＜3①，且x=1时，有最大值[（a-3）x]_max=a-3；
当x＜1时，f（x）=x²-2ax+2，为二次函数，图象开口向上，对称轴为x=a，若f（x）在（-∞，1）上为减函数，则对称轴在区间右侧，即a≥1②，且（x²-2ax+2）_min＞f（1）=3-2a；
又由题意函数在定义域R上单调递减，则（x²-2ax+2）_min≥[（a-3）x]_max，即3-2a≥a-3，解得a≤2③；
综合①②③可得a的取值范围是1≤a≤2．
故答案为：1≤a≤2．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．