Question

在△ABC中，已知ln（sinA+sinB）=lnsinA+lnsinB-ln（sinB-sinA）．且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）求

a+c

b

的取值范围．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）依题意，利用对数的运算性质可得sin²B-sin²A=sinA•sinB，①，再由两角和与差的余弦及二倍角的余弦公式，由cos（A-B）+cosC=1-cos2C可得sinA•sinB=sin²C，②，联立①②即可判断△ABC的形状；
（2）由（1）知△ABC为Rt△，且B为直角，利用正弦定理及辅助角公式可得

a+c

b

=

2

sin（A+

π

4

），利用正弦函数的单调性即可求得

a+c

b

的取值范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵ln（sinA+sinB）=lnsinA+lnsinB-ln（sinB-sinA），
∴ln[（sinA+sinB）（sinB-sinA）]=ln（sinA•sinB），
∴sin²B-sin²A=sinA•sinB，①
又cos（A-B）+cosC=1-cos2C，
∴cos（A-B）-cos（A+B）=2sinA•sinB=2sin²C，即sinA•sinB=sin²C，②
联立①②得：sin²B-sin²A=sin²C，由正弦定理可得，b²=a²+c²，
∴△ABC为Rt△；
（2）在△ABC中，由（1）知△ABC为Rt△，且B为直角，
由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=sinA+sinC=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵A∈（0，

π

2

），（A+

π

4

）∈（

π

4

，

3π

4

），sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，即

a+c

b

的取值范围为：（1，

2

]．

点评：标题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与两角和与差的余弦、二倍角的余弦的综合应用，考查扥就转化思想与运算求解能力，属于中档题．