Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=

1

2

BC，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C₁DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C₁-ABED，且C₁A=AB．
（1）求证：C₁A⊥平面ABED；
（2）若M是棱C₁E的中点，求直线BM与平面C₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）设AD=AB=

1

2

BC=1，利用勾股定理的逆定理可以判断C₁A⊥AD，C₁A⊥AE；
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC₁为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和

BM

的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．

解答： 解：（1）设AD=AB=

1

2

BC=1，则C₁A=1，C₁D=

2

，
∴C1A2+AD2=C1D2，
∴C₁A⊥AD，…（2分）
又∵BE=

1

2

，C₁E=

3

2

∴AE²=AB²+BE²=

5

4

∴C1A2+AE2=

9

4

=C1E2
∴C₁A⊥AE …（4分）
又AD∩AE=E
∴C₁A⊥平面ABED； …（5分）
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC₁为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…（6分）
则B（1，0，0），C₁（0，0，1），E（1，

1

2

，0），D（0，1，0），
∵M是C₁E的中点，
∴M（

1

2

，

1

4

，

1

2

），
∴

BM

=（-

1

2

，

1

4

，

1

2

），…（8分）
设平面C₁DE的法向量为

n

=（x，y，z），

DE

=(1，-

1

2

，0)，

DE

=(0，1，-1)     
由

n • DE =0 n • C1D =0

 即

x- 1 2 y=0 y-z=0

，令y=2，得

n

=（1，2，2）…（10分）
设直线BM与平面C₁DE所成角为θ，则sinθ=|

n • BM

| n || BM |

|=

4

9

∴直线BM与平面C₁DE所成角的正弦值为

4

9

．…（12分）

点评：本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．