Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是

x=1+tcosα y=tsinα

（t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=

14

，求直线的倾斜角α的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；
（2）先将直l的参数方程是

x=1+tcosα y=tsinα

（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t₁，t₂的关系式，利用|AB|=|t₁-t₂|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．

解答： 解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：
ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
∴（x-2）²+y²=4．
（2）将

x=1+tcosα y=tsinα

代入圆的方程（x-2）²+y²=4得：
（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化简得t²-2tcosα-3=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
则

t1+t2=2cosα t1t2=-3

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1-t2)2-4t1t2

=

4cos2α+12

，
∵|AB|=

14

，
∴

4cos2α+12

=

14

．
∴cosα=±

2

2

．
∵α∈[0，π），
∴α=

π

4

或α=

3

4

π．
∴直线的倾斜角α=

π

4

或α=

3

4

π．

点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．