Question

已知函数f（x）=2|e^x-e^a|-

ex

x

+ea，x∈(0，1]，a∈R
（1）当a≥1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a∈（0，1）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由a≥1和x∈（0，1]可得e^x-e^a≤0，求得f(x)=3ea-2ex-

ex

x

，求导后由导函数大于0和导函数小于0求得函数f（x）的单调区间；
（2）由x的范围写出分段函数f（x），由（1）可知x∈（0，a]的单调性，再分析出x∈（a，1]上的单调性，然后分0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a＜1求得函数f（x）的最大值M（a）．

解答： 解：（1）当a≥1时，又x∈（0，1]，
∴e^x-e^a≤0恒成立，则f(x)=3ea-2ex-

ex

x

，
∴f′(x)=-2ex-

ex(x-1)

x2

=-

ex

x2

(2x2+x-1)，
当x＞

1

2

时，f'（x）＜0；
当0＜x＜

1

2

时，f'（x）＞0，又x∈（0，1]，
∴函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)，单调递减区间为(

1

2

，1]；
（2）f(x)=

3ea-2ex- ex x ，x∈(0，a] 2ex- ex x -ea，x∈(a，1]

，
当x∈(a，1]，f(x)=2ex-

ex

x

-ea，
f′(x)=

ex

x2

(2x2-x+1)=

ex

x2

×[2(x-

1

4

)2+

7

8

]＞0，
∴x∈（a，1]时，f(x)=2ex-

ex

x

-ea单调递增．
（i）当0＜a≤

1

2

时，f（x）在（0，a]单调递增，在[a，1]上单调递增，
则M（a）=f(x)max=f(1)=e-ea；
（ii）当

1

2

＜a＜1时，f（x）在(0，

1

2

]单调递增，在(

1

2

，a)单调递减，在[a，1]上单调递增，
函数f（x）的最大值在f（1）与f(

1

2

)中取到，
∵f(1)=e-ea，f(

1

2

)=3ea-4

e

，
由f(

1

2

)＞f（1），即3ea-4

e

＞e-ea，得a＞ln

4 e +e

4

，
∴当ln

4 e +e

4

＜a＜1时，f(

1

2

)＞f（1），M（a）=f(x)max=f(

1

2

)=3ea-4

e

；
当

1

2

＜a≤ln

4 e +e

4

时，f(

1

2

)≤f（1），M（a）=f(x)max=f(1)=e-ea．
综上，M(a)=

e-ea，0＜a≤ln 4 e +e 4 3ea-4 e ，ln 4 e +e 4 ＜a＜1

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，正确分类是解答该题的关键，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．