Question

①设函数f（x）=|x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＜2；
②已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：①化简f（x）的解析式，从而求得f（x）＜2的解集．
②由条件利用柯西不等式求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4，-5，x≤-1

，
∴由f（x）＜2得x＜

5

2

，即不等式的解集为{x|x＜

5

2

 }．

②∵x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1+1+1）≥（x+y+z）²=9，
从而 x²+y²+z²≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x²+y²+z² 的最小值为3．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了柯西不等式的应用，属于基础题．