Question

在平面直角坐标系xOy中，在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹为C．
（1）求C的参数方程；
（2）直线l的参数方程为

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t为参数），点F（1，-1），已知l与曲线C交于A、B两点，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,轨迹方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设C（x，y），则P（x，2y），代入圆P所在的方程可得：x²+4y²=4，化为

x2

4

+y2=1，取x=2cosθ，y=sinθ，即可得出曲线C的参数方程．
（2）把直线l的参数方程

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t为参数），代入曲线C的参数方程可得5t2-6

2

t+2=0，利用|AF|+|BF|=t₁+t₂即可得出．

解答： 解：（1）设C（x，y），则P（x，2y），代入圆P所在的方程可得：x²+4y²=4，
化为

x2

4

+y2=1，取x=2cosθ，y=sinθ，
可得C的参数方程：

x=2cosθ y=sinθ

，θ为参数．
（2）把直线l的参数方程

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t为参数），代入曲线C的参数方程可得：(1+

2

2

t)2+4(-1+

2

2

t)2=4，
化为5t2-6

2

t+2=0，
∴|AF|+|BF|=t₁+t₂=

6 2

5

．

点评：本题考查了曲线的参数方程、中档坐标公式、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．