Question

直线l：kx-y-3k=0，圆C方程为x²+y²-8x-2y+9=0
（1）求证：直线和圆相交；
（2）当圆截直线所得弦最长时，求k的值；
（3）直线将圆分成两个弓形，当弓形面积之差最大时，求直线方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求出直线l过定点，判断定点在圆内即可；
（2）当圆截直线所得弦最长时，此时直线过圆心；
（3）当弓形面积之差最大时，需要该直线与直线AC垂直即可

解答： （1）证明：将圆的方程化为标准方程得：（x-4）²+（y-1）²=8，
∴圆心坐标为C（4，1），半径r=2

2

，
直线l：kx-y-3k=0等价为k（x-3）-y=0，则直线过定点A（3，0），
则AC=

(4-3)2+1

=

2

＜2

2

，
即点A在圆内，则直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的公共点；
（2）当圆截直线所得弦最长时，则直线过圆心C，
此时满足4k-1-3k=0，即k=1．
（3）要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，
故需要该直线与直线AC垂直即可．
则k_AC=

1-0

4-3

=1，故所求直线的斜率为-1．
即k=-1，
则所求的直线的方程为-x-y+3=01），
即x+y-3=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线过定点问题，综合考查圆的性质．