Question

已知f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意转化为：

1+lnx

x-1

＞

k

x

，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•

1+lnx

x-1

求导数判断，h′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，且y=x-2-lnx，y′=1-

1

x

＞0在x＞1成立，y=x-2-lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x₀∈（3，4）使得f（x）≥f（x₀）＞3，即可选择答案．

解答： 解：∵f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），
对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），
∴可得：

1+lnx

x-1

＞

k

x

，对于x＞1恒成立．
设h（x）=x•

1+lnx

x-1

，h′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，且y=x-2-lnx，y′=1-

1

x

＞0在x＞1成立，
∴即3-2-ln3＜0，4-2-ln4＞0，
故存在x₀∈（3，4）使得f（x）≥f（x₀）＞3，
∴k的最大值为3．
故选；B

点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．