Question

14．已知{a_n}满足下列条件，写出前5项，数列的一个通项公式．
（1）a₁=2，a_n+1=3a_n+2；
（2）a₁=2，a_n+1=3a_n+3
（3）a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$；
（4）a₁=2，a_n+1=3a_n²．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系进行递推即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=3a_n+2；
∴a₂=3a₁+2=6+2=8；
a₃=3a₂+2=24+2=26；
a₄=3a₃+2=78+2=80；
a₅=3a₄+2=240+2=242；
则a_n=3ⁿ-1．
（2）∵a₁=2，a_n+1=3a_n+3，
∴a₂=3a₁+2=6+3=9；
a₃=3a₂+3=27+3=30；
a₄=3a₃+3=90+3=93；
a₅=3a₄+3=279+3=282；
a_n=$\frac{7}{2}$•3^n-1-$\frac{3}{2}$．
（3）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$；
∴a₂=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$；a₃=$\frac{2×\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$；
a₄=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}=\frac{2}{5}$；
a₅=$\frac{2×\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+2}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{6}$；
则a_n=$\frac{2}{n+1}$
（4）∵a₁=2，a_n+1=3a_n²．
∴a₂=3×2²；
a₃=3×（3×2²）²=3³×2⁴
a₄=3×（3³×2⁴）²=3⁷×2⁸；
a₅=3×（3⁷×2⁸）²=3¹⁵×2¹⁶；
a_n=${3}^{{2}^{n-1}-1}•{2}^{{2}^{n}-1}$；

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用，考查学生的运算能力．