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如图所示,已知AB⊥平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BC⊥CD.
(1)求证:MN∥平面BCD;
(2)求证:平面BCD⊥平面ABC;
(3)若AB=1,BC=
3
,求直线AC与平面BCD所成的角.
分析:(1)因为M,N分别是AC,AD的中点,所以MN∥CD.由此能够证明MN∥平面BCD.
(2)因为AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.由此能够证明平面BCD⊥平面ABC.
(3)因为AB⊥平面BCD,所以∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角.由此能够求出直线AC与平面BCD所成的角.
解答:解:(1)∵M,N分别是AC,AD的中点,
∴MN∥CD.
∵MN?平面BCD且CD?平面BCD,
∴MN∥平面BCD.
(2)∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC.
∵CD?平面BCD,
∴平面BCD⊥平面ABC.
(3)∵AB⊥平面BCD,
∴∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角. 
在直角△ABC中,AB=1,BC=
3

tan∠ACB=
AB
BC
=
3
3

∴∠ACB=30°.
故直线AC与平面BCD所成的角为30°.
点评:本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化立体问题为平面问题.
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4

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2
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.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?

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精英家教网如图所示,已知
AB
=2
BC
OA
=
a
OB
=
b
OC
=
c
,则
c
=
 
.(用
a
b
表示)

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