Question

设数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，若{

1

2an+an+1

}是等差数列，则(

1

2a1

+

1

a2

）+(

1

2a2

+

1

a3

）+…+(

1

2a2012

+

1

a2013

）的值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出2a_n+a_n+1=3，由此能求出（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）的值．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，a₁=1，
∴an=qn-1，
∴

1

2an+an+1

=

1

2qn-1+qn

，
∵{

1

2an+an+1

}是等差数列，
∴2×

1

2q2-1+q2

=

1

2q1-1+q

+

1

2q3-1+q3

，
整理，得q²-2q+1=0，解得q=1，
∴an=1n-1=1，
∴2a_n+a_n+1=3，
∴（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）
=

3 2 + 3 2 + 3 2 +…+ 3 2

2012个

=

3

2

×2012
=3018．
故答案为：3018．

点评：本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．