Question

求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心．

Answer 1

已知：如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，O为△ABC的垂心．
求证：A在平面PBC内的射影，是△PBC的垂心．
证明：连AO交BC于D，∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC
∵O为△ABC的垂心，∴BC⊥AO
∵PO∩AO=O，∴BC⊥平面PAD，从而BC⊥PA，
同理，AB⊥PC．
由于BC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD，作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PBC
所以BH是AB在平面PBC内的射影，
由于AB⊥PC，由三垂线定理得，BH⊥PC．
又BC⊥PD，∴H是△PBC的垂心．