Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E是棱BC 的中点， 试在棱CC₁上求一点P ，使得平面A₁B₁P ⊥平面C₁DE ．

Answer 1

解：如图，以D 为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，    
设正方体的棱长为1，P(0 ，1 ，a) ，
则D(0,0,0),A₁(1,0,1) ，B₁(1,1,1),，C₁(0，1,1)．
=(0，1，0)，=（-1，1，a-1），=(0，1，1).
设平面A₁B₁P的一个法向量n₁= (x₁，y₁，z₁)，则

令z₁=1,x₁=a-1，
∴n₁=(a-1,0,1).
设平面C₁DE的一个法向量n₂=（x₂，y₂，z₂），
则

令y₂=1，得x₂=-2，z₂=-1，
∴n₂=（-2，1，-1）．
∵若平面A₁B₁P⊥平面C₁DE，
∴n₁·n₂=0，
∴-2(a-1)-1=0，
解得
∴当P为C₁C的中点时，平面A₁B₁P⊥平面C₁DE.