Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）据题意，得 ，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；

（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．与椭圆方程联立，结合韦达定理有． 假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.

（1）据题意，得

解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由，得．

设，则．

设，则直线的斜率分别满足．

又因为直线的斜率互为相反数，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以．

若对任意恒成立，则，

当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数．

综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．