Question

17．在△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AD上移动时，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则t=λ-μ的最大值是$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件判断三角形ABC是直角三角形，利用坐标法求出A，B，C，D的坐标，结合$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，即可找到λ和μ的关系，得到答案．

解答 解：∵AB=4，AC=8，∠BAC=60°，
∴三角形ABC是直角三角形，且BC=4$\sqrt{3}$，
∵BA=BD，∴BD=4，
将三角形ABC放入直角坐标系中，
则D（-4，0），B（0，0），A（0，4），C（4$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{AD}$=（-4，-4），$\overrightarrow{AB}$=（0，-4），$\overrightarrow{AC}$=（4$\sqrt{3}$，-4），
设E（x，y），则$\overrightarrow{AE}$=（　　）
设$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AD}$，t∈[0，1]，
则$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AD}$=t（-4，-4）=（-4t，-4t），
∵$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=λ（0，-4）+μ=（4$\sqrt{3}$，-4）=（4$\sqrt{3}$μ，-4λ-4μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}μ=-4t}\\{-4λ-4μ=-4t}\end{array}\right.$，
即λ=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$t，μ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∴λ-μ=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$t，
∵t∈[0，1]
∴当t=1时，λ-μ取得最大值，最大值为$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由任意两不共线的向量唯一表示出来．建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．