Question

如图，椭圆C0：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．

(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

(2)设动圆C2：x2＋y2＝与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

 

Answer 1

（1）＝1(x<－a，y<0)．（2）见解析

【解析】(1)【解析】
设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，

则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝(x－a)．②

由①②得y2＝(x2－a2)．③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＝1.

从而＝b2，代入③得＝1(x<－a，y<0)．

(2)证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2＝b2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以＝a2，从而＝b2，因此＝a2＋b2为定值