Question

已知曲线C上动点P(x，y)到定点F1(，0)与定直线l1∶x＝的距离之比为常数.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求·的最小值，并求此时圆T的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）(x＋2)2＋y2＝

【解析】(1)过点P作直线的垂线，垂足为D.

，所以该曲线的方程为＋y2＝1.

(2)点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点M在椭圆C上，所以＝1－.由已知T(－2，0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－＝(x1＋2)2－＝＋4x1＋3＝·－.由于－2<x1<2，故当x1＝－时，·取得最小值为－.计算得，y1＝，故M.

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝.故圆T的方程为(x＋2)2＋y2＝