Question

已知圆心为的圆经过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求直线的方程；

（3）是否存在斜率是1的直线，使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆经过

原点？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）;（2）或；（3）不存在．

【解析】

试题分析：（1）用两点的距离公式求出圆的半径，就可写出圆的标准方程；（2）法一：由圆的弦长可求得圆心到直线的距离，再用点斜式设出所求直线的方程，应用待定系数法：由点到直线的距离公式，就可求出所求直线的斜率，从而就可求得所求的直线方程，只是一定要注意：斜率不存在情形的讨论；法二：设出直线的斜率，写出直线方程，与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，应用韦达定理及弦长公式，就可用斜率的代数式将弦长表示出来，从而获得关于斜率的方程解之即得；一样也需考虑斜率不存在情形；（3）法一：假设所求直线存在，先用斜截式设出其方程，并用m的式子表示出弦EF的中点坐标，再画出图形，由以弦EF为直径的圆经过原点知，再作勾股定理即可获得关于m的方程，解此方程，有解则存在，并可写出对应直线方程，无解则不存在；法二：将直线方程与圆方程联立，消元，再用韦达定理，将条件应用向量知识转化为，然后将韦达定理的结论代入即可获得关于m的方程，解此方程，有解则存在，并可写出对应直线方程，无解则不存在．

试题解析：（1）圆的半径为, 1分

∴圆的标准方程为. 3分

（2）方法一 如图所示，设直线与圆交于两点，且是的中点，则， 且，

∵圆的半径为4，即

∴在中，可得，即点到直线的距离为2． 4分

（i）当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为,即． 5分

由点到直线的距离公式得：=2，解得.

∴此时直线的方程为. 7分

（ii）当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

将代入得，，

∴,,

∴方程为的直线也满足题意.

∴所求直线的方程为或. 8分

方法二：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为,即.---4分

联立直线与圆的方程:, 5分

消去得 ①

设方程①的两根为,

由根与系数的关系得 ②

由弦长公式得|x1-x2|==4 ③

将②式代入③，并解得，

此时直线的方程为. 7分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

仿方法一验算得方程为的直线也满足题意.

∴所求直线的方程为或. 8分

（3）方法一：假设存在直线满足题设条件，设的方程为,

则的中点是两直线与的交点,即, 10分

∴.

∵以为直径的圆经过原点，

∴，

∴， 12分

又∵，，

∴，化简得，

∵方程没有实数解，

∴不存在满足题设条件的直线． 14分

方法二： 假设存在直线满足题设条件，并设的方程为，点，点,

联立直线与圆的方程, 9分

消去得

由根与系数的关系得 ④ 11分

∵以为直径的圆经过原点，

∴.

若、中有一点在轴上，则另一点必在轴上，而在圆的方程中令可得无实数解，故本情况不会出现． --------12分

∴即，

∴，

化简得: ， 13分

以④代入并化简得

∵方程没有实数解，

∴不存在满足题设条件的直线． 14分

考点：1．圆的方程；２．直线与圆的位置关系．