Question

已知定义在R上的函数f（x）=log₂（x²+ax+5）（a＞0），其值域为[2，+∞）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）讨论函数f（x）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性．（写出完整解题过程）

Answer 1

解：（1）由题意函数f（x）=log₂（x²+ax+5）在R上的最小值为2，
因为函数y=log₂u在（0，+∞）上是增函数，
所以当f（x）=log₂（x²+ax+5）取最小值时，u=x²+ax+5也取最小值
所以函数y=x²+ax+5在R上的最小值为2²=4，
得，解得a=2，
所以f（x）的解析式为f（x）=log₂（x²+2x+5）
（2）因为y=log₂u在（0，+∞）上是增函数，
函数u=x²+2x+5在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增
所以函数f（x）=log₂（x²+ax+5）在在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增
所以，当b≥-1时，函数f（x）在区间[b，+∞）上单调递增
当b＜-1时，函数f（x）在区间[b，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增．
分析：（1）根据函数f（x）=log₂（x²+ax+5）（a＞0）的值域为[2，+∞），可知u=x²+ax+5的最小值为4，x∈R，利用二次函数的最值求法，即可求得结果；
（2）欲求得函数f（x）=log₂（x²+ax+5）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性，将函数f（x）=log₂（x²+ax+5）分解成两部分：f（U）=log₂U外层函数，U=x²+ax+5是内层函数．外层函数是对数函数，其底数大于1，是（0，+∞）增函数，故要求函数f（x）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性，即求函数U=x²+ax+5在区间[b，+∞）上的单调性即可，注意分类讨论．
点评：本题考查与对数函数有关的复合函数的值域和单调性的判定，体现了分类讨论的数学思想，考查运算能力，属中档题．