Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²，x+1），$\overrightarrow{b}$=（1-x，t），若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在区间（-1，1）上是增函数，则t的取值范围为（　　）

• A． （1，5）
• B． （-$\frac{1}{3}$，5）
• C． （-∞，5]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 进行向量数量积的坐标运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而得出f（x）=-x³+x²+tx+t，求导数f′（x）=-3x²+2x+t，根据题意可知f′（x）≥0在x∈（-1，1）上恒成立，从而有$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≥0}\\{f′（1）≥0}\end{array}\right.$，解不等式组即可得出t的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={x}^{2}（1-x）+t（x+1）$=-x³+x²+tx+t；
∴f（x）=-x³+x²+tx+t；
∴f′（x）=-3x²+2x+t；
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴f′（x）≥0在x∈（-1，1）上恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=-5+t≥0}\\{f′（1）=-1+t≥0}\end{array}\right.$；
∴t≥5；
∴t的取值范围为[5，+∞）．
故选：D．

点评 考查向量数量积的坐标运算，函数单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象．