Question

7．圆C经过直线x+y-1=0与x²+y²=4的交点，且圆C的圆心为（-2，-2），则过点（2，4）向圆C作切线，所得切线方程为（　　）

• A． 5x-12y+38=0或3x-4y+10=0
• B． 12x-5y+4=0或3x-4y+10=0
• C． 5x-12y+38=0或x=2
• D． 3x-4y+10=0或x=2

Answer 1

分析 设所求圆的方程为：（x²+y²-4）+a（x+y-1）=0即x²+y²+ax+ay-4-a=0，由圆心为（-2，-2）求出a的值，即可求出圆的半径，然后讨论：当过点（2，4）的直线斜率不存在时，方程是x=2，通过验证圆心到直线的距离，得到x=2符合题意；当过点（2，4）的直线斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），根据圆心到直线的距离等于半径4，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程．最后综合可得答案．

解答 解：设所求圆的方程为：（x²+y²-4）+a（x+y-1）=0即x²+y²+ax+ay-4-a=0，
∵圆心为（-2，-2），
∴a=4．
∴圆的方程为x²+y²+4x+4y-8=0，即（x+2）²+（y+2）²=16．
则圆心为：（-2，-2），半径为4．
（1）当过点（2，4）的直线垂直于x轴时，
此时直线斜率不存在，方程是x=2，
∵圆心（-2，-2）到直线的距离为d=4=r，
∴直线x=2符合题意；
（2）当过点（2，4）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y-4=k（x-2）
即kx-y-2k+4=0，
由点到直线的距离公式可得：$\frac{|-2k+2-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=4$，
解得：k=$\frac{5}{12}$．
∴切线方程为：5x-12y+38=0．
综上切线方程为：5x-12y+38=0或x=2．
故选：C．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，属于中档题．