Question

16．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$，满足|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-1，且$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$的夹角为$\frac{π}{4}$，则|${\overrightarrow c}$|的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据条件便可得出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，然后可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，并连接AC，BC，这样由此可得到$∠AOB=\frac{3π}{4}，∠ACB=\frac{π}{4}$，这便说明O，A，C，B四点共圆，从而当OC为圆的直径时$|\overrightarrow{c}|$最大．并且可以得到$\frac{\sqrt{2}}{cos∠AOC}=\frac{1}{cos（\frac{3π}{4}-∠AOC）}$，这样便可得出AC=$2\sqrt{2}$，从而在Rt△AOC中可以求出OC的值，这样即可得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{3π}{4}$；
如图，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，连接AC，BC，则：

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}，\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$；
∴$∠ACB=\frac{π}{4}$；
又$∠AOB=\frac{3π}{4}$；
∴O，A，C，B四点共圆；
∴当OC为圆的直径时，$|\overrightarrow{c}|$最大；
∴此时$∠A=∠B=\frac{π}{2}$，$OA=\sqrt{2}，OB=1$，$∠BOC=\frac{3π}{4}-∠AOC$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{cos∠AOC}=\frac{1}{cos（\frac{3π}{4}-∠AOC）}$；
∴$cos∠AOC=\sqrt{2}（-\frac{\sqrt{2}}{2}cos∠AOC+\frac{\sqrt{2}}{2}sin∠AOC）$；
整理得2cos∠AOC=sin∠AOC；
∴tan∠AOC=2；
∴$AC=2\sqrt{2}$；
∴$OC=\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{10}$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值为$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，向量减法的几何意义，圆的内接四边形的对角互补，直径所对的圆周角为直角，以及两角差的余弦公式，三角函数的定义，直角三角形边的关系．