Question

5．若椭圆$\frac{x^2}{m}$+y²=1（m＞1）与双曲线$\frac{x^2}{n}$-y²=1（n＞0）有共同的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2$\sqrt{m}$，双曲线的实轴长为2$\sqrt{n}$，由它们有相同的焦点，得到m-n=2．根据双曲线和椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{m}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$，△PF₁F₂ 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF₁F₂的面积公式即可运算得到结果．

解答 解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，
椭圆的长轴长2$\sqrt{m}$，双曲线的实轴长为2$\sqrt{n}$，
由它们有相同的焦点，得到m-1=n+1，即m-n=2．
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$，①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{m}$，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n），
即有|PF₁|•|PF₂|=m-n=2，
又|F₁F₂|=2$\sqrt{m-1}$，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=4（m-1），
|F₁F₂|²=4（m-1），即|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
则△F₁PF₂的形状是直角三角形
即有△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故选：B．

点评 本题考查焦点三角形的面积，注意运用椭圆与双曲线的定义，求焦点三角形三边的关系，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，考查运算能力，属于中档题．