Question

14．把函数f（x）=cos²x+sinxcosx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把所得图象每个点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（　　）

• A． g（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{12}$
• B． g（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． 在（0，π）上单调递减
• D． 关于点（$\frac{13π}{12}$，$\frac{1}{2}$）对称

Answer 1

分析 利用已知及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$，由x-$\frac{π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的一条对称轴方程可判断A，由g（x）∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，可判断B；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间，可判断C；由x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得g（x）的对称中心坐标，可判断D，从而得解．

解答 解：∵把函数f（x）=cos²x+sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得函数y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
再把所得图象每个点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
∴由x-$\frac{π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的一条对称轴方程为：x=kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，可得A错误；
由g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，可得B错误；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间为：[2kπ+$\frac{7π}{12}$，2kπ+$\frac{19π}{12}$]，k∈Z，可得C错误；
由x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得g（x）的对称中心坐标为：（kπ+$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z，当k=1时，为（$\frac{13π}{12}$，$\frac{1}{2}$），可得D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．