Question

已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；

（2）如果x∈R⁺，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ) f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

解析:

（1）证明：  ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.

∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

（2）解：方法一  设x,y∈R⁺，∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R⁺，f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，

∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.

∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

方法二  设x₁＜x₂,且x₁,x₂∈R.则f(x₂-x₁)=f［x₂+(-x₁)］=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁).

∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)-f(x₁)＜0.即f(x)在R上单调递减.

∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，

f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.