Question

如图，已知椭圆，直线的方程为，过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点，直线，交直线分别于点，．

（1）当时，求此时直线的方程；

（2）试问，两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2），两点的纵坐标之积为定值.

【解析】

试题分析：（1）讨论①当直线的斜率不存在时，确定得到，又

不满足；

②当直线的斜率存在时，设方程为

代入椭圆得；

应用韦达定理研究，解得 求得直线的方程；

（2）的方程为与的方程：联立

确定 同理得，

从而.

讨论不存在、存在的两种情况，得出结论.

（1）①当直线的斜率不存在时，由可知方程为

代入椭圆得又

不满足 2分

②当直线的斜率存在时，设方程为

代入椭圆得 3分

设得 4分

故直线的方程； 6分

（2）的方程为与的方程：联立

得： 同理得 8分

①不存在时， 9分

②存在时， 12分

，两点的纵坐标之积为定值 13分

考点：椭圆的几何性质，直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想.