Question

【题目】如图,四边形ABCD是直角梯形,AB＝2CD＝2PD＝2,PC,且有PD⊥AD,AD⊥CD,AB∥CD.

（1）证明：PD⊥平面ABCD；

（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为,求四棱锥P﹣ABCD的表面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）推导出PD⊥CD,PD⊥AD,由此能证明PD⊥平面ABCD.

（2）由PD⊥面ABCD,四棱锥P﹣ABCD的体积为,求出AD＝1,由PD⊥AB,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,AB⊥PA,PA,由此能求出四棱锥P﹣ABCD的表面积.

解：（1）证明：在△PCD中,PD＝1,CD＝1,PC,

∵12+12,

∴∠PDC＝90°,即PD⊥CD,

又PD⊥AD,AD∩CD＝D,∴PD⊥平面ABCD.

（2）由（1）得PD⊥面ABCD,

VP﹣ABCD,

∴AD＝1,

∵PD⊥AB,AB⊥AD,PD∩AD＝D,

∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,∴PA,

由题意得BC＝PC,PB,

△PBC中,由余弦定理得cos∠PCB.

∴∠PCB＝120°,

∴S△PCB,

,

S△PAD＝S△PCD,

,

∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S.