Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l截得圆：x2+y2＝p2的弦长为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A、B两点，l2与抛物线C交于D、E两点，M、N分别为弦AB、DE的中点，求|MF||NF|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝8x（2）32

【解析】

（1）求得抛物线C的焦点，可得直线l的方程，求得圆心（0，0）到直线的距离，由圆内的垂径定理，结合勾股定理，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；

（2）求得焦点F的坐标，由已知可得AB⊥DE，两直线AB、DE的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为y＝k（x﹣2）.联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，结合基本不等式可得所求最小值.

（1）由y2＝2px的焦点为F（，0），

可得直线l的方程为l：y＝x，

圆心到直线l的距离为d，

又d2+14＝p2，可得p＝4，

故抛物线C的方程为y2＝8x；

（2）由（1）知焦点为F（2，0）.

由已知可得AB⊥DE，所以两直线AB、DE的斜率都存在且均不为0.

设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，

故直线AB的方程为y＝k（x﹣2）.

联立方程组，消去x，整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2.

因为M（xM，yM）为弦AB的中点，所以yM（y1+y2）.

由yM＝k（xM﹣2），得xM22，故点M（2，），

同理，可得N（4k2+2，﹣4k），

故|NF|4，

|MF|.

所以|MF||NF|41616（|k|）

≥16×232，

当且仅当|k|，即k＝±1时，等号成立.

所以|MF||NF|的最小值为32.