Question

三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，，，分别是，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.   

Answer 1

（1）(1)证明　取AB中点O，连接CO，DO，

∵DO∥AA₁，DO＝AA₁，∴DO∥CE，DO＝CE，

∴四边形DOCE为平行四边形，∴DE∥CO，DE⊄平面ABC，CO⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC.                                                 ……………5分

（2）证明　等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，连接AF，∴AF⊥BC. ………6分

又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，∴AF⊥B₁F，                                     …………8分

设AB＝AA₁＝1，∴B₁F＝，EF＝，B₁E＝，

∴B₁F²＋EF²＝B₁E²，∴B₁F⊥EF，又AF∩EF＝F，∴B₁F⊥平面AEF.          ………12分