Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+2a-4不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n

求{b_n}的前n次和T_n．
（3）在各项不为零的数列{c_n}中，所有满足Cm C_m+1＜0的正整数m的个数称为这个数列{C_n}的变号数，若C_n=

1

a

-

1

an

（n∈N^*），求数列{C_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出a，代入找到S_n的表达式，再利用S_n和a_n的关系来求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法对数列{b_n}进行求和即可（注意分情况讨论）．
（3）先利用前2问的条件求出数列{c_n}的通项以及前几项，再利用函数的单调性就可求数列{C_n}的变号数．

解答：解：（1）因为f（x）≤0的解集有且只有一个元素，所以对应方程的△=0?a=4，
故f（x）=x²-4x+4，
所以S_n=f（n）=n²-4n+4?a_n=

s1     n=1    sn-sn-1     n≥ 2

?a_n=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（2）由（1）知b1=

1

2

，bn=

2n-5

2n

(n≥2)（3分）

所以当n=1时，T₁=

1

2

当n≥2时，利用错位相减求和法可得Tn=1-

2n-1

2n

，
综合，Tn=1-

2n-1

2n

（n∈N′），（9分）
（3）Cn=

- 3 4 (n=1) 1 4 - 1 2n-5 (n≥2)

所以c₁=-

3

4

，c₂=

3

4

，c₃=-

3

4

，c₄=-

1

12

，c₅=

1

20

，
又因为n≥5时，Cn≥

1

4

-

1

2×5-5

≥

1

20

＞0
故变号数为3．（4分）

点评：本题是对数列知识和函数知识的综合考查．涉及到已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，则通项公式为分段函数．