Question

（12分）已知函数为奇函数，为常数，

（1）求实数的值；

（2）证明：函数在区间上单调递增；

（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)根据f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，所以

,

所以,经检验当a=1时，显然不符合要求，

所以a=-1.

(2)证明:设

设，

所以，

所以

即，

所以函数在区间上单调递增；

(3) 对于区间上的每一个值，不等式恒成立,

即,由(2)知在[3,4]上是增函数，所以当x=3时，取得最小值，最小值为

所以.

考点：函数的奇偶性，复合函数的单调性证明，函数单调性在不等式恒成立问题中的应用.

点评：函数是奇偶性可知f(-x)+f(x)=0恒成立，这是求解析式参数的基本方法.

复合函数单调性的证明可先证明内函数的单调性，再根据外函数的单调性证明即可，同学们要认真体会本小题的证法.

不等式恒成立问题在参数与变量能分离的情况下，最好分离参数，然后转化为函数最值求解.