Question

3．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠1且a≠0）
①当a＞1时，判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．
②若函数函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a＞1，根据复合函数单调性之间的关系即可试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．根据（1）的结论即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由a＞1，3-ax≥0，即ax≤3，则x≤$\frac{3}{a}$，
此时y=3-ax为减函数
∵a＞1，则a-1＞0，则 $\frac{1}{a-1}$＞0，则此时函数f（x）为减函数，单调递减区间为（-∞，$\frac{3}{a}$]；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，
由（1）知，a＞1，且$\frac{3}{a}$≥1，即1＜a≤3，
0＜a＜1时，a-1＜0，f（x）递增，不合题意，
a＜0时，f（x）在（0，1]递减成立，
综上实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，3]．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用复合函数单调性的关系是解决本题的关键．