Question

已知幂函数f(x)=(n2-2n+1)xn2-2在（0，+∞）上是增函数，

a

=(sinθ，-2)，

b

=(1，cosθ)，g(x)=f(sinx+cosx)+2

3

cos2x
（1）当

a

⊥

b

时，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值时x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，由此求得 n的值，从而得到f（x）的解析式．由

a

⊥

b

，求得tanθ=2，利用三角函数的恒等变换化简g（θ）的解析式为1+

2tanθ+2 3

tan2θ+1

，运算求得结果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2

3

cos²x，化简为 2sin（2x+

π

3

）+

3

+1，由此求得g（x）的最值以及此时x的取值集合．

解答：解：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，故 n=2，f（x）=x²．
∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）²+2

3

cos²θ=1+2sinθcosθ+2

3

cos²θ=1+

2sinθcosθ+2 3 cos2θ

sin2θ+cos2θ

=1+

2tanθ+2 3

tan2θ+1

=1+

4+2 3

4+1

=

9+2 3

5

．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

+1=2sin（2x+

π

3

）+

3

+1．
故g（x）的最大值为3+

3

，此时，2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，x的取值集合为{x|x=kπ+

π

12

，k∈z}．
g（x）的最小值为

3

-1，此时，2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，x的取值集合为{x|x=kπ-

5π

12

，k∈z}．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，幂函数的定义，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．