Question

【题目】已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且.

（1）求直线的方程；

（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 的方程为或.(2)3

【解析】

(1) 设 ，可得，，求出A点坐标，即可得到直线的方程；

(2)利用点差法可得，又因为在同一直线上，所以，所以，设出直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示面积，结合均值不等式即可得到结果.

解法一：（1）设 ，因为，所以①

又因为点在椭圆上，所以②

由①②解得：或，所以的坐标为或

又因为的坐标为，所以直线的方程为或.

（2）当在第一象限时，直线

设，则，

两式相减得：

因为不过原点，所以，即，

同理：

又因为在同一直线上，所以，所以，

设直线，

由得：，由，得

由韦达定理得：，，

所以，

又因为到直线的距离，

所以

当且仅当，即时等号成立，

所以的面积的最大值为3，

当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，

综上，面积的最大值为3.

解法二：（1）同解法一；

（2）当点在第一象限时，直线

由，得：，则中点的坐标为

所以直线

①当直线斜率不存在或斜率为零时，不共线，不符合题意；

②当直线斜率存在时，设，，

由得：，由，得，

由韦达定理，，，

所以

因为在同一直线上，所以，解得，

所以，，，

所以

又因为到直线的距离为

所以

当，即时，面积的最大值为3，

所以面积的最大值为3，

当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，

综上，面积的最大值为3.