Question

16．已知函数f（x）=x|x-4|（x∈R），若存在正实数k，使得方程f（x）=k在区间（2，+∞）上有两个根a，b，其中a＜b，则ab-2（a+b）的取值范围是（　　）

• A． （2，2+2$\sqrt{2}$）
• B． （-4，0）
• C． （-2，2）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 画出函数f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+4x，x＜4\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$的图象，数形结合分析出a+b的取值范围，再将ab-2（a+b）化为$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$-4（a+b），结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：函数f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+4x，x＜4\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$的图象如下所示：

若存在正实数k，使得方程f（x）=k在区间（2，+∞）上有两个根a，b，其中a＜b，
则a∈（2，4），b∈（4，2+2$\sqrt{2}$），a+b∈（4+2$\sqrt{2}$，8），
且-a²+4a=b²-4b，即4（a+b）=a²+b²，
则ab-2（a+b）=$\frac{（a+b）^{2}-（{a}^{2}+{b}^{2}）}{2}$-2（a+b）=$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$-4（a+b）∈（-4，0），
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．