Question

6．不等式log_ax＞（x-1）²恰有三个整数解，则a的取值范围为[$\root{16}{5}$，$\root{9}{4}$）．

Answer 1

分析 底数0＜a＜1时，不等式log_ax＞（x-1）²不可能有三个整数解，底数a＞1时，由于不等式log_ax＞（x-1）²恰有三个整数解，所以x=4时，log_ax≥（x-1）²，x=5时，log_ax＜（x-1）²，由此能求出a的取值范围．

解答 解：底数0＜a＜1时，不等式log_ax＞（x-1）²不可能有三个整数解，
底数a＞1时，由于不等式log_ax＞（x-1）²恰有三个整数解，
由于x=1时，log_ax=（x-1）²=0，
∴只要满足x=4时，log_ax≥（x-1）²，且x=5时，log_ax＜（x-1）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＞9}\\{{log}_{a}5≤16}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{9}＜4}\\{{a}^{16}≥5}\end{array}\right.$，
∴$\root{16}{5}$＜a＜$\root{9}{4}$，故答案为[$\root{16}{5}$，$\root{9}{4}$），
故答案为：[$\root{16}{5}$，$\root{9}{4}$）．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．