Question

12．已知m∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1，若函数y=f（g（x））-m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））-m有6个零点，则t=x²-2x+2m-1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其绝对值大于2m-2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$的图象如图所示，

令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t₁＜t₂＜t₃，
由于函数y=f（g（x））-m有6个零点，t=x²-2x+2m-1，
则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，
函数t=x²-2x+2m-1对称轴x=1，则t的最小值为1-2+2m-1=2m-2，
由图可知，2t₁+1=-m，则${t}_{1}=\frac{-m-1}{2}$，
由于t₁是交点横坐标中最小的，满足$\frac{-m-1}{2}＞2m-2$①，
又0＜m＜3②，
联立①②得0$＜m＜\frac{3}{5}$．
∴实数m的取值范围是（0，$\frac{3}{5}$）．
故答案为：（0，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．