Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求证：{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2（a_n+1），结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，na_n=n•2ⁿ-n，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
则na_n=n•2ⁿ-n，
令T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
则2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴前n项和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{1}{2}$n（1+n）．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式，及分组求和、错位相减求和方法的应用．