Question

19．已知抛物线y²=4x的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，且$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ＞0）．
（1）求证：△ABO为钝角三角形；
（2）若λ∈[4，9]，求△ABO面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为my=x-1，联立直线与抛物线，利用韦达定理，证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即可证明：△ABO为钝角三角形；
（2）S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，可得y₁=-λy₂，代入①可得m²=$\frac{（1-λ）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$）-$\frac{1}{2}$，利用λ∈[4，9]，即可求△ABO面积的取值范围．

解答 （1）证明：抛物线C的方程为y²=4x，F（1，0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，联立直线与抛物线，
消去x得到y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4①．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-4（m²+1）+4m²+1=-3＜0，
∴△ABO为钝角三角形；
（2）解：由（1）可知：|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=2$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，
∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）．
∴y₁=-λy₂，
代入①可得m²=$\frac{（1-λ）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$）-$\frac{1}{2}$，
∵λ∈[4，9]，∴λ+$\frac{1}{λ}$在[4，9]上单调递增，∴λ+$\frac{1}{λ}$∈[$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$]，
∴m²∈[$\frac{9}{16}$，$\frac{64}{36}$]
∴S_△AOB∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$]．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．