Question

2．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则m的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由向量知识易得目标函数为m=2y-x，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，平移直线y=$\frac{1}{2}$x可得结论．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

∵向量$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2y-（m+x）=0，可得目标函数为m=2y-x，
即y=$\frac{1}{2}x$$\frac{1}{2}$m，平移直线y=$\frac{1}{2}x$可知，当直线经过点A时，m取最小值，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
∴m的最小值为2×1-1=1．
故选：B．

点评 本题考查简单线性规划，考查向量垂直的坐标运算，体现了数学转化思想方法，属中档题．