Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴上有一点B，满足AB⊥AF₂且F₁为BF₂的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，判断椭圆C和直线l的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF₂且F₁为BF₂的中点，可得a，c的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先求出椭圆的方程，再与直线方程联立，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，B

F

2 2

=AB2+A

F

2 2

．…（2分）
又因为F₁为BF₂的中点，所以(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2，…（4分）
又a²=b²+c²，所以a=2c．
故椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=

1

2

a，于是F2(

a

2

，0)，B(-

3

2

a，0)，Rt△ABF₂的外接圆圆心为F1(-

1

2

a，0)，半径r=a．…（8分）
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，所以c=1，b=

3

．
所以椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（11分）
由

x2 4 + y2 3 =1 x- 3 y-3=0

得：13x²-24x=0，
∴可得△＞0，所以直线和椭圆相交．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．