Question

设有函数f(x)=

-x2-4x

和g(x)=

4

3

x+1+a，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），则实数a的取值范围是

a≥

13

3

．

Answer 1

分析：已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），对其进行移项，利用常数分离法，可以得出a大于等于一个新函数，求出这个新函数的最大值即可；

解答：解：∵函数f(x)=

-x2-4x

和g(x)=

4

3

x+1+a，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），
∴

-x2-4x

≤

4

3

x+1+a，
∴a≥

-x2-4x

-

4

3

x-1，
令h（x）=

-x2-4x

-

4

3

x-1，求出h（x）的最大值即可，
∵

-x2-4x

≥0，（-4≤x≤0），y=-

4

3

x-1在[-4，0]上为减函数，
∴当x=-4时，h（x）取得最大值，h_max（x）=h（-4）=

16

3

-1=

13

3

，
∴a≥

13

3

，
故答案为：a≥

13

3

；

点评：此题考查函数的恒成立问题，解决此题的关键是利用常数分离法，分离出a的范围，转化为求函数的最值问题；