Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，

1

2

)．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由左焦点为 F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（II）由于线段PA中点M随着P的变动而变动，故只需求出两动点之间的坐标关系，利用P再椭圆上即可求得线段PA中点M的轨迹方程
（Ⅲ）当直线BC垂直于x轴时，线段BC的长为2，因此△ABC的面积S_△ABC=1满足l的条件．当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，求得B，C的坐标，从而求得BC长，利用点到直线的距离公司可求点A到直线BC的距离，从而可求△ABC的面积，进而可求k及直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1，…（1分）
又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由x=

x0+1

2

，y=

y0+ 1 2

2

得x₀=2x-1，且y0=2y-

1

2

．…（4分）
由点P在椭圆上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．…（6分）
（Ⅲ）当直线BC垂直于x轴时，线段BC的长为2，因此△ABC的面积S_△ABC=1满足l的条件．当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，解得
B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），则|BC|=4

1+k2

1+4k2

．…（8分）
又点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

，∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

．…（10分）
于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

=1，得

4k

4k2+1

=0，所以k=0．
∴直线l存在，其方程为x=0和y=0．…（12分）

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，同时考查了直线与椭圆的位置关系，代入法求轨迹方程解题的关键是寻找动点之间的坐标关系．