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已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2,侧棱与底面所成的角为60°,且侧面ABB1A1与底面垂直.
(1)求异面直线B1C与C1A所成的角;
(2)求此斜三棱柱的表面积.

【答案】分析:(1)取AB中点D,连结BC1,交B1C于点O,连结OD、B1D.由平行四边形形的性质和三角形中位线定理,证出∠COD(或补角)是异面直线B1C与C1A所成的角.结合题中数据算出△COD的三边之长,再利用余弦定理即可算出异面直线B1C与C1A所成的角大小;
(2)根据余弦定理解三角形,算出cos∠ACC1=-,从而得到sin∠ACC1=,可得S=.同样的方法算出S=,结合S=2和S△ABC=S=,即可求出此斜三棱柱的表面积.
解答:解:(1)取AB中点D,连结BC1,交B1C于点O,连结OD、B1D
∵平行四边形BCC1B1的对角线交点为O,
∴O为BC1的中点,可得OD是三角形ABC1的中位线
∴OD∥AC1,∠COD(或补角)是异面直线B1C与C1A所成的角
∵平面ABC⊥侧面ABB1A1,平面ABC∩侧面ABB1A1=AB
正三角形ABC中,CD⊥AB
∴CD⊥侧面ABB1A1
∵CD=AB=,B1D==
可得Rt△CDB1中,B1C==,得C0==D0
∴△COD中由余弦定理,得cos∠COD==
因此,异面直线B1C与C1A所成的角为arccos
(2)由(1)得AC1=2D0=,从而算出cos∠ACC1==-
∴sin∠ACC1=,可得S=CC1•ACcsin∠ACC1=
同理算出S=
又∵S=A1A•ABsin60°=2,S△ABC=S==
∴此斜三棱柱的表面积为
S=S+S+S+S△ABC+S=2+4
点评:本题给出特殊三棱柱,求异面直线所成角大小并求该几何体表面积,着重考查了面面垂直的性质定理、正余弦定理解三角形和面积公式等知识,属于中档题.
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