Question

P是平行四边形ABCD外一点，∠DAB=60°，AB=2AD=2a，△PDC是正三角形，BC⊥PD
（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-BC-D的余弦值；
（3）求三棱锥B-ADP的体积．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证AB²=BD²+AD²⇒AD⊥BD，结合已知BC⊥PD可证AD⊥平面PBD，从而可证平面PBD⊥平面ABCD；
（2）可证∠PBD为二面角P-BC-D的平面角，再利用余弦定理计算即可；
（3）通过体积转化公式V_B-ADP=V_A-PBD及可求得答案．

解答：证明：（1）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2a，
∴由余弦定理得：BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos∠DAB=a²+4a²-2×a×2a×

1

2

=3a²，
∴BD=

3

a；
∴AB²=BD²+AD²，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
又BC⊥PD，BC∥AD，
∴AD⊥PD，PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，AD?平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD；
（2）由AD⊥平面PBD，BC∥AD知，BC⊥平面PBD，PB?平面PBD，
∴BC⊥PB；①
又∠ADB=∠DBC=90°，
∴DB⊥BC；②
平面PBC∩平面DBC=BC，
∴∠PBD为二面角P-BC-D的平面角．
∵△PDC是边长为2a正三角形，BD=

3

a，
由BC⊥PB知，△PBC为直角三角形，由斜边PC=2a，直角边BC=a可得PB=

3

a；
∴cos∠PBD=

PB2+BD2-PD2

2BP•BD

=

3a2+3a2-4a2

2× 3 a× 3 a

=

1

3

；
（3）∵AD⊥平面PBD，
∴V_B-ADP=V_A-PBD
=

1

3

•AD•S_△PBD
=

1

3

×a×

1

2

PB•BD•sin∠PBD
=

1

6

a•

3

a•

3

a•

2 2

3

=

2

3

a³．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的平面角及求法，考查余弦定理与棱锥的体积的综合应用，属于难题．